// Пока не достигли конца датасета, крутим цикл
while not (FDQuery1.Eof) do 
begin
  try
    // Зачем-то в цикле каждый раз пытаемся открыть датасет
    qGET_PERS_FOTO.Open;  
    qGET_PERS_FOTO.Insert;
    // на каждую итерацию цикла делаем поиск полей
    qGET_PERS_FOTO.FindField('foto').Assign(FDQuery1.FieldByName('foto'));
    qGET_PERS_FOTO.FindField('pers_id').Assign(FDQuery1.FieldByName('pers_id'));
    qGET_PERS_FOTO.Post;
    FDQuery1.Next;
  Except
     On e: Exception Do
     begin
       // Если текст сообщения содержит 'unique constraint' (именно в таком написании)
       if Pos('unique constraint', e.Message)> 0 then
       begin
         // то перейти на следующую запись
         FDQuery1.Next;
      end;
      // А если не содержит, то остаться на текущей и повторить вставку
     end;
end;